Une fonction polynôme du second degré est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois nombres réels et \(a\neq 0\).
L'expression \(ax^2+bx+c\) est appelée polynôme du second degré, ou trinôme du second degré (somme de trois monômes).
Les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) sont appelés les coefficients du polynôme.
Remarque :
Si \(a=0\), \(f\) est une fonction affine.
Une fonction polynôme de degré \(n\) est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\), où \(a_n\), \(a_{n-1}\), ..., \(a_1\) et \(a_0\) sont des nombres réels et \(a_n\neq 0\).
Par exemple, la fonction \(f\) définie par \(f(x)=5x^3-4x^2+x+2\) est une fonction polynôme du troisième degré.
Une fonction polynôme est entièrement déterminée par ses coefficients.
Exercice :
Pour chaque fonction définie ci-dessous, déterminer s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Si oui, donner la valeur des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).
1) \(f(x)=4x^2+x-3\)
2) \(f(x)=3x^2+8\)
3) \(f(x)=-x^2+5x\)
4) \(f(x)=2x+2\)
5) \(f(x)=6x-1+3x^2\)
6) \(f(x)=2x^3+x^2-3x-7\)
7) \(f(x)=16x-(x^2+5x-2)\)
8) \(f(x)=x(x^2-4x+3)\)
9) \(f(x)=-7x(1-4x)\)
10) \(f(x)=(x+3)^2-x^2\)
11) \(f(x)=(2x^3+4x+3)-x(2x^2-1)\)
Exercice :
Une fonction polynôme du second degré \(f\) a pour coefficients \(a=2\), \(b=-5\) et \(c=3\).
Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-1)\).
2) Forme canonique
Propriété
Tout trinôme du second degré \(f(x)=ax^2+bx+c\) peut s'écrire sous la forme canonique\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=\frac{-b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).
Démonstration :
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac bax\right)+c\) \(x^2+\frac bax\) est le début du développement de \(\left(x+\frac{b}{2a}x\right)^2=x^2+\frac bax+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)
\(=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\)
\(=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}\)
\(=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\)
\(=a(x-\alpha)^2+\beta\) en posant \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}\).
En calculant \(f(\alpha)\) avec l'expression \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), on obtient : \(\beta=f(\alpha)\).
Remarque :
Cette forme est appelée la forme canonique du trinôme, car la variable \(x\) n'y apparait qu'une seule fois.
Elle permet de passer de \(x\) à \(f(x)\) par une suite d'opérations élémentaires à faire subir au nombre \(x\). Si par exemple \(f(x)=4(x-3)^2-7\), \(f(x)\) peut être calculé par l'algorithme suivant :
Entrer un nombre x
Soustraire 3
Elever au carré
Multiplier par 4
Soustraire 7
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De la propriété précédente, on déduit la propriété suivante :
Propriété
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet \(S(\alpha,\beta)\).
Elle est tournée vers le haut si \(a\gt 0\) et vers le bas si \(a\lt 0\).
Exercice :
Soit \(f\) la fonction polynôme du second degré définie par \(f(x)=2x^2-20x+57\).
1) Ecrire \(f(x)\) sous forme canonique.
2) Donner un algorithme qui permet de calculer \(f(x)\) par une suite d'opérations élémentaires à faire subir au nombre \(x\).
3) Dresser le tableau de variarion de \(f\).
Solution :
Méthode 1 : Sans utiliser la propriété
Méthode 2 : En utilisant la propriété
Exercice :
Problème du maître-nageur
Solution :
3) Forme factorisée
Définition
On appelle racine de la fonction polynôme du second degré \(f\) tout nombre réel \(x_1\) tel que \(f(x_1)=0\).
Autrement dit, une racine de \(f\) est une solution de l'équation \(f(x)=0\).
Remarque :
Les équations de la forme \(f(x)=0\) (où \(f\) est une fonction quelconque) sont importantes en général, car toute équation peut se ramener à cette forme. Par exemple l'équation \(x^2=\frac 1x\) équivaut à \(x^2-\frac 1x=0\).
Propriété
Toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) où \(a\), \(x_1\) et \(x_2\) sont des nombres réels avec \(a\neq 0\) est une fonction polynôme du second degré. Il s'agit ici de la forme factorisée du trinôme.
Démonstration :
Il suffit de développer l'expression \(f(x)\):
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
\(=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)\)
\(=ax^2+a(-x_1-x_2)x+ax_1x_2\). On obtient bien une expression de la forme \(ax^2+bx+c\).
Remarque :
Une fonction polynôme du second degré n'admet pas toujours de forme factorisée (voir le II).
La forme factorisée (si elle existe), permet d'obtenir immédiatement les racines du trinôme : les racines sont \(x_1\) et \(x_2\).
Inversement, si on connait les racines \(x_1\) et \(x_2\), alors la forme factorisée est \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
Si \(x_1=x_2\), les deux racines sont confondues (racine double). La forme factorisée est alors \(f(x)=a(x-x_1)^2\).
ANIMATION GEOGEBRA
Exercice :
1) La forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré est \(f(x)=2(x-3)(x+4)\).
Déterminer la forme développée de \(f(x)\) ainsi que les racines du trinôme.
2) Dans chaque cas, déterminer une fonction polynôme du second degré dont les racines sont :
a) 1 et 2
b) 2 et -3
c) -1 et -5
d) 0 et 4
e) 5 et -5
f) 6 et 6 (racine double)
3) Ecrire sous forme factorisée :
a) \(f(x)=x^2-6x\) b) \(g(x)=2x^2+10x\)
c) \(h(x)=x^2-16\) d) \(i(x)=x^2-5\)
e) \(j(x)=x^2-4x+4\) f) \(k(x)=4x^2+20x+25\)
4) Choix de la forme adaptée
On dispose de trois formes pour une fonction polynôme du second degré :
La forme développée : \(f(x)=ax^2+bx+c\)
La forme canonique : \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\)
La forme factorisée : \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Exercice :
On donne une fonction polynôme du second degré sous la forme canonique \(f(x)=3(x-7)^2-12\).
1) Ecrire \(f(x)\) sous forme développée et sous forme factorisée.
2) Utiliser la forme la mieux adaptée pour répondre aux questions suivantes :
a) Calculer \(f(0)\).
b) Calculer \(f(5)\).
c) Calculer \(f(7)\).
d) Résoudre l'équation \(f(x)=0\).
e) Déterminer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole qui représente \(f\).
f) Déterminer le tableau de variation et le minimum de \(f\).
g) Déterminer le tableau de signes de \(f\).
h) Résoudre l'équation \(f(x)=135\).
5) Somme et produit des racines
Propriété
soit \(f\) une fonction polynôme du second degré définie par \(f(x)=ax^2+bx+c\). On suppose que \(f\) amet deux racines \(x_1\) et \(x_2\).
Posons \(S=x_1+x_2\) (somme des racines) et \(P=x_1x_2\) (produit des racines).
Alors on a : \(S=-\frac ba\) et \(P=\frac ca\).
Démonstration :
On reprend l'expression obtenue dans la développement de la forme factorisée :
\(f(x)=ax^2+a(-x_1-x_2)x+ax_1x_2=ax^2-aSx+aP\).
D'autre part : \(f(x)=ax^2+bx+c\).
En identifiant les coefficients, on obtient \(-aS=b\) et \(aP=c\), d'où \(S=-\frac ba\) et \(P=\frac ca\).
Exercice :
Pour chacun des trinômes ci-dessous, trouver une racine évidente, puis en déduire la deuxième racine en utilisant la propriété concernant la somme et le produit des racines :
a) \(x^2-6x+5\) b) \(2x^2-9x+7\) c) \(x^2-2x-3\)
II- Equations du second degré
Propriété
On considère l'équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)).
Le nombre \(\Delta=b^2-4ac\) est appelé le discriminant du trinôme \(ax^2+bx+c\).
Si \(\Delta\gt 0\) : L'équation possède deux solutions distinctes \(x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) et \(x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\).
On a la factorisation du trinôme : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)\).
Les solutions \(x_1\) et \(x_2\) sont appelées les racines du trinôme \(ax^2+bx+c\).
Si \(\Delta =0\) : L'équation possède une seule solution : \(x_0=\frac{-b}{2a}\).
On a la factorisation du trinôme : \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\).
On dit que \(x_0\) est une racine double du trinôme.
Si \(\Delta\lt 0\) : L'équation n'a pas de solution dans \(\mathbb R\).
Le trinôme ne se factorise pas et n'a pas de racine.
Démonstration :
On souhaite résoudre l'équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) (avec \(a\neq 0\)).
Les équations suivantes sont équivalentes :
\(ax^2+bx+c=0\)
\(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) (d'après la forme canonique)
\(a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0\) (on a mis \(a\) en facteur)
\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0\) Posons \(\Delta=b^2-4ac\).
\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0\)
Trois cas peuvent se présenter suivant le signe de \(\Delta\) : 1er cas :\(\Delta\gt 0\)
L'équation équivaut à : \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2=0\)
\(\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)=0\)
\(\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right)=0\)
\(x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) ou \(x=\frac{-b-s\sqrt\Delta}{2a}\)
2ème cas :\(\Delta=0\)
L'équation équivaut à : \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0\)
\(x+\frac{b}{2a}\)
\(x=\frac{-b}{2a}\)
3ème cas :\(\Delta\lt 0\)
\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\) est strictement positif (car \(\frac{\Delta}{4a^2}\lt 0\)) donc l'équation n'a pas de solution.
On en déduit que le trinôme ne peut pas se factoriser (car sinon il y aurait au moins une racine).
Exercice :
Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb R\) :
a) \(x^2+5x-24=0\)
b) \(6x^2+7x-3=0\)
c) \(4x^2-12x+9=0\)
d) \(x^2+x+1=0\)
e) \(x^2-x-1=0\)
f) \(2x-3-\frac 2x=0\)
g) \(x^4-13x^2+36=0\)
Exercice :
La somme de deux nombres est 120 et leur produit est 3564.
Quels sont ces deux nombres ?
Exercice :
Les figures ci-dessous représentent quatre polynômes du second degré dans un repère orthonormé et le signe de leur discriminant \(\Delta\).
Parmi ces propositions, laquelle est juste? (Source : Sujets zéro en classe de Première pour le baccalauréat 2021)
III- Signe du trinôme et inéquations du second degré
