Soit \(P\) une probabilité sur un univers \(\Omega\) et \(A\) un événement de probabilité non nulle : \(P(A)\ne 0\).
Pour tout événement \(B\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\), notée \(P_A(B)\) est définie par \({P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\).
Propriété
Pour tous événements \(A\) et \(B\) tels que \(P(A)\ne 0\) et \(P(B)\ne 0\), on a :
\(P_A(A)=1\)
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\left(A\cap B=\varnothing\right)\), alors \(P_A(B)=0\).
\(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)\) Formule des probabilités composées
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(P(A\cap B)=0\) et \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0\).
D'après la définition \({P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\), on a immédiatement
\(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\).
On a aussi \({P_B(A)=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}}\) et donc \(P(B\cap A)=P(B)\times P_B(A)\).
On a : \(A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})\).
Cette réunion étant disjointe : \(P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})\).
Ainsi : \(P_A(\overline{B})=\frac{P(A\cap\overline{B})}{P(A)}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}
=\frac{P(A)}{P(A)}-\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=1-P_A(B)\).
Exercice : On lance successivement trois pièces bien équilibrées.
1) Sachant que la première pièce donne Pile, calculer la probabilité qu'il y ait plus de Pile que de Face sur les trois lancers.
2) Schant qu'au moins une des pièces donne Pile, calculer la probabilité qu'il y ait plus de Pile que de Face sur les trois lancers.
Solution :
L'univers \(\Omega\) est formé de 8 éventualités équiprobables : FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP.
On considère les événements suivants :
\(A\): «La première pièce donne Pile»
\(B\): «Au moins une des pièces donne Pile»
\(C\): «On obtient plus de Pile que de Face »
1) \(P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{4}{8}}=\)\(\frac{3}{4}\)
2) \(P_B(C)=\frac{P(B\cap C)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{8}}{\frac{7}{8}}=\)\(\frac{4}{7}\)
Exercice :
On modélise la moyenne obtenue par un candidat au bac S à l'issue des épreuves du premier groupe par une loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0,65\).
1) Calculer la probabilité qu'un candidat choisi au hasard obtienne une mention Assez Bien.
2) Calculer la probabilité qu'un candidat choisi au hasard soit recalé à l'issue du premier groupe d'épreuves.
3) Quelle moyenne peut-on prévoir pour l'ensemble des candidats?
4) Sachant qu'un candidat choisi au hasard a obtenu une mention, quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une mention Assez Bien?
Solution :
Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la moyenne du candidat choisi au hasard.
1) \(P(12\leq X\lt 14)=P\left((X=12)\cup(X=13)\right)=P(X=12)+P(X=13)\approx\)
2) \(P(X\lt 8)=P(X\leq7)\approx\)
Exercice :
Dans la langue française, la fréquence d'apparition de la lettre F est 1,1%. Celle de la lettre R est 6,6%.
Sachant que la lettre précédente est un F, la probabilité que la lettre suivante soit un R est 12,7%.
Calculer la probabilité d'apparition du bigramme FR en français.
Solution :
Dans un bigramme choisi au hasard, notons \(F_1\) l'événement : « La première lettre du bigramme est un F » et \(R_2\) l'événement : « La deuxième lettre du bigramme est un R ».
La probabilité d'apparition du bigramme FR est : \(P(F_1\cap R_2)=P(F_1)\times P_{F_1}(R_2)=0,011\times 0,127\approx\)0,14%.
Remarque :
Lorsqu'à tout événement \(B\), on associe \(P_A(B)\), on définit une nouvelle loi de probabilité sur \(\Omega\) appelée loi de probabilité conditionnelle sachant \(A\).
Exercice :
On lance deux dés bien équilibrés. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux dés.
Soit \(A\) l'événement : « le premier dé donne 2».
Compléter les deux tableaux ci-dessous donnant la loi de \(X\) et la loi de \(X\) sachant \(A\). Loi de \(X\):
\(i\)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
\({P(X=i)}\)
\(\frac{1}{36}\)
\(\frac{2}{36}\)
\(\frac{3}{36}\)
\(\frac{4}{36}\)
\(\frac{5}{36}\)
\(\frac{6}{36}\)
\(\frac{5}{36}\)
\(\frac{4}{36}\)
\(\frac{3}{36}\)
\(\frac{2}{36}\)
\(\frac{1}{36}\)
Loi de \(X\) sachant \(A\):
\(i\)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
\({P_A(X=i)}\)
0
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
0
0
0
0
Solution :
L'univers associé à cette expérience aléatoire est \(\Omega={(1;1),(1;2),(1;3),...,(6;6)}\). Il contient 36 éventualités équiprobables, chacune ayant pour probabilité \(\frac{1}{36}\).
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
II- Formule des probabilités totales et arbres pondérés
1) Formule des probabilités totales
Définition
Soit \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) des événements (des parties de \(\Omega\)).
On dit que ces événements forment une partition de \(\Omega\) si :
\(A_i\cap A_j=\varnothing\) si \(i\neq j\)
\(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n=\Omega\)
Cela signifie que chaque éventualité \(\omega\) de \(\Omega\) appartient à une et une seule des parties \(A_i\).
Propriété
Formule des probabilités totales
Soit \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) des événements formant une partition de \(\Omega\), et tels que \(P\left(A_i\right)\ne 0\) pour tout entier \(i\) compris entre \(1\) et \(n\). Alors on a pour tout événement \(B\) : \({P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+...+P(A_n)\times P_{A_n}(B)}\)
Démonstration :
\(B\) est la réunion des événements \(A_1\cap B\), \(A_2\cap B\), ..., \(A_n\cap B\) deux à deux disjoints, donc
\({P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+...+P(A_n\cap B)}{=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+...+P(A_n)\times P_{A_n}(B)}\)
2) Arbres pondérés
La formule des probabilités totales peut se visualiser sur un arbre pondéré :
Règles :
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.
La probabilité d'un événement représenté par un chemin (intersection d'événements) est égale au produit des probabilités rencontrées sur les branches de ce chemin.
Exercice :
Une urne contient 15 jetons rouges et 5 jetons bleus. 20% des jetons rouges sont gagnants et 40% des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l'urne. On note :
\(R\) l'événement : « Le jeton est rouge »
\(B\) l'événement : « Le jeton est bleu »
\(G\) l'événement : « Le jeton est gagnant »
1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer \(P(R\cap G)\).
3) Calculer la probabilité que le jeton soit gagnant.
Solution :
Exercice : Test de dépistage
Une maladie grave touche une personne sur 1000.
On dispose d’un test de dépistage de cette maladie fiable à 99% :
Si une personne est saine, le test sera négatif dans 99% des cas.
Si une personne est malade, le test sera positif dans 99% des cas.
Une personne passe le test et il est positif. Doit-elle vraiment s’inquiéter ?
Solution :
Exercice : Prévisions météo
Dans une région du monde, les météorologues ont fait les observations suivantes :
S’il fait beau un jour, la probabilité qu’il fasse beau le lendemain et égale à 0,8.
S’il pleut un jour, la probabilité qu’il pleuve le lendemain est égale à 0,6.
Sachant qu’il fait beau aujourd’hui, calculer la probabilité qu’il fasse beau : demain ; dans deux jours ; dans trois jours.
Solution :
III- Evénements indépendants
Définition
On dit que deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si on a : \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
Remarque :
Si \(P(A)\neq 0\), \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P_A(B)=P(B)\).
Autrement dit, le fait de savoir que \(A\) est réalisé n'a pas d'influence sur le fait que \(B\) le soit.
Si \(P(B)\neq 0\), on a de même \(A\) et \(B\) indépendants si et seulement si \(P_B(A)=P(A)\).
Propriété
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements indépendants, alors \(\overline{A}\) et \(B\) sont aussi indépendants.
Démonstration :
On a : \(B=\left(A\cap B\right)\cup\left(\overline{A}\cap B\right)\), la réunion étant disjointe.
On a donc : \(P\left(\overline{A}\cap B\right)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)\times P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)\times P\left(\overline{A}\right)\).
On en déduit que \(\overline{A}\) et \(B\) sont indépendants.
Exercice :
On lance deux dés (un bleu et un rouge). On considère les événements suivants :
\(A\): « Le dé bleu donne 2»
\(B\): « Le dé rouge donne 5»
\(C\): « La somme des deux dés donne 7»
\(D\): « La somme des deux dés donne 8»
Les événéments \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants? \(A\) et \(C\)? \(A\) et \(D\)?
\(P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap B)\) donc \(A\) et \(B\) sont indépendants.
\(P(A)\times P(C)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap C)\) donc \(A\) et \(C\) sont indépendants.
\(P(A)\times P(D)=\frac{1}{6}\times\frac{5}{36}=\frac{5}{216}\neq P(A\cap D)\) donc \(A\) et \(D\) ne sont pas indépendants.
Exercice :
Deux événements indépendants \(A\) et \(B\) ont pour probabilité respective 0,6 et 0,7.
Calculer la probabilité de \(A\cup B\).
Solution :
Comme \(A\) et \(B\) sont indépendants, on a : \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\).
Ainsi : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)\times P(B)=0,6+0,7-0,6\times 0,7=\)0,88.
Exercice :
Compléter l'arbre pondéré suivant sachant que les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Exercice :
1) Dans un lycée de 1000 élèves, calculer la probabilité qu'au moins un élève soit né le jour de Noël.
2) Donner une estimation du nombre de jours de l'année où aucun élève du lycée ne fête son anniversaire.
Solution :
1) Numérotons chaque élève du lycée de 1 à 1000 et notons \(A_i\) l'événement : « l'élève n°\(i\) est né le jour de Noël » (avec \(i\) un entier compris entre 1 et 1000). Alors \(P(A_i)=\frac{1}{365}\) et \(P\left(\overline{A_i}\right)=\frac{364}{365}\).
\(P(\text{"Au moins un élève est né le jour de Noël"})=1-P(\text{"Aucun élève n'est né le jour de Noël"})=1-P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap...\cap\overline{A_{1000}}=1-P(\overline{A_1})\times P(\overline{A_2})\times ...\times P(\overline{A_{1000}})=1-\left(\frac{364}{365}\right)^{1000}\approx 0,94\).
La probabilité qu'au moins un élève soit né le jour de Noël est 94%.
Remarque : Pour justifier que \(P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap...\cap\overline{A_{1000}})=P(\overline{A_1})\times P(\overline{A_2})\times...\times P(\overline{A_{1000}})\), on peut invoquer le fait que les événements \(\overline{A_1}\), \(\overline{A_2}\),..., \(\overline{A_{1000}}\) sont indépendants, mais la notion d'indépendance est hors programme de Terminale pour plus de deux événements. On peut aussi considérer que le choix des dates d'anniversaire des 1000 élèves correspond à la répétition de 1000 épreuves aléatoires identiques et indépendantes, et le cours de Première permet alors de justifier l'égalité.
2) Le raisonnement précédent s'applique pour chaque jour de l'année : la probabilité qu'aucun élève du lycée ne soit né un jour donné est environ 0,06. Autrement dit, environ 6% des jours de l'année, aucun élève du lycée ne fête son anniversaire, soit \(0,06\times 365\approx\)23 jours de l'année sans anniversaire.
Remarque : Ce résultat n'est qu'une moyenne sur un grand nombre de lycées de 1000 élèves. Le nombre de jours sans anniversaire doit fluctuer autour de 23 tout en restant généralement assez proche de 23.
