Introduction :
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle a pour limite \(0\) en \(-\infty\) et pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\). Le théorème de la bijection permet d'en déduire que, quel que soit le nombre réel \(k\) strictement positif, l'équation \(e^x=k\) admet une solution unique dans \(\mathbb{R}\), notée \(\ln k\), appelée le logarithme népérien de \(k\).
Ainsi, pour tout \(x\gt 0\), \(\ln x\) est le nombre dont l'exponentielle vaut \(x\).
Définition
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) qui à tout nombre réel strictement positif \(x\) associe le réel \(y\), noté \(\ln x\), dont l'exponentielle est \(x\).
Remarque :
Pour simplifier, on écrit \(\ln x\) plutôt que \(\ln(x)\) lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté.
Les conséquences suivantes découlent immédiatement de la définition :
Propriété
Pour tout réel \(x\gt 0\) et tout réel \(y\) :
\(y=\ln x\Leftrightarrow x=e^y\)
\(e^{\ln x}=x\)
\(\ln\left(e^y\right)=y\)
\(\ln1=0\) (car \(e^0=1\))
\(\ln e=1\) (car \(e^1=e\))
Exercice :
1) Sachant que \(e^3\approx 20\), donner une valeur approchée de \(\ln(20)\).
2) Sachant que \(\ln(2)\approx 0,69\), donner une valeur approchée de \(e^{0,69}\).
Solution :
1) \(\ln(20)\approx 3\)
2) \(e^{0,69}\approx 2\)
II- Propriétés algébriques
Propriété fondamentale du logarithme :
Propriété
Pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\) : \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\)
La fonction \(\ln\) transforme les produits en sommes.
Démonstration :
On compare l’exponentielle de \(\ln (ab)\) et celle de \(\ln a+\ln b\) :
D'une part : \(e^{\ln (ab)}=ab\)
D'autre part : \(e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab\)
Ainsi, les nombres \(\ln (ab)\) et \(\ln a+\ln b\) ont la même image par la fonction exponentielle, donc ils sont égaux (car \(e^x=e^y\Leftrightarrow x=y\)).
Remarque historique : C’est en cherchant une fonction qui transforme les produits en sommes, c’est-à-dire une fonction \(f\) qui vérifie la propriété \(f(ab)=f(a)+f(b)\) pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\), que l’astronome écossais John Néper (1550- 1617) a découvert la fonction \(\ln\) en 1614, après 15 années de travail pour réaliser sa table des logarithmes.
« Très illustre amateur de mathématiques,
Comme rien n’est aussi pénible que la pratique des mathématiques, parce que la logistique est d’autant plus freinée,
retardée, que les multiplications, divisions et les extractions de racines carrées ou cubiques portent sur des grands
nombres ; […] j’ai entrepris de rechercher par quel procédé sûr et rapide on pourrait éloigner ces obstacles. […] A la
vérité, aucun, parmi les autres, n’est plus utile que l’un d’eux ; par son moyen, on rejette les nombres utilisés dans les
multiplications, les divisions et les extractions de racines lorsqu’elles sont difficiles et prolixes, et on les remplace par
d’autres nombres, que j’ai pris soin de leur adjoindre, et l’on achève le calcul par des additions, des soustractions, des
divisions par deux et par trois seulement. »
Extrait de la préface à La merveilleuse règle des logarithmes de John Néper - 1614
Conséquences de la propriété fondamentale :
Propriété
Pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\) et tout entier relatif \(n\), on a :
\(\ln\left(\frac 1b\right)=-\ln b\) La fonction \(\ln\) transforme l'inverse en l'opposé.
\(\ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b\) La fonction \(\ln\) transforme les divisions en soustractions.
\(\ln\left(a^n\right)=n\ln a\) La fonction \(\ln\) transforme les puissances en multiplications.
\(\ln\sqrt a=\frac 12 \ln a\) La fonction \(\ln\) transforme les racines carrées en divisions par 2.
Démonstration :
\(b\times\frac 1b=1\) donc \(\ln\left(b\times\frac 1b\right)=\ln 1\)
On en déduit que \(\ln b+\ln\left(\frac 1b\right)=0\) (d'après la propriété fondamentale du logarithme)
donc on a bien : \(\ln\left(\frac 1b\right)=-\ln b\).
\(\ln\left(\frac ab\right)=\ln\left(a\times\frac 1b\right)=\ln a+\ln\left(\frac 1b\right)=\ln a-\ln b\) (on a utilisé la propriété fondamentale puis la propriété 1)
Pour \(n\) entier strictement positif, on a :
\(\ln\left(a^n\right)=\ln(a\times a\times a\times ...\times a)=\ln a+\ln a+...+\ln a=n\ln a\)
On a utilisé ici la propriété fondamentale.
Une démonstration plus rigoureuse nécessiterait un raisonnement par récurrence.
Le cas où \(n\) est négatif se traite en posant \(p=-n\) et en utilisant la propriété 1.
\(\ln a=\ln\left(\sqrt{a}^2\right)=2\ln\left(\sqrt a\right)\) (d'après la propriété 3)
donc on a bien \(\ln\sqrt a=\frac 12 \ln a\).
Exercice :
Simplifier le nombre \(A=\ln 6+\ln\frac 13-\ln 2\).
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et \(\ln'x=\frac 1x\).
Autrement dit, une primitive de la fonction inverse sur \(]0;+\infty[\) est la fonction \(\ln\).
Démonstration :
On part de l'égalité \(e^{\ln x}=x\) valable pour tout réel \(x\gt 0\).
En dérivant cette égalité, on obtient : \(\ln'x\times e^{\ln x}=1\) (car la dérivée de \(e^u\) est \(u'e^u\))
On en déduit que \(\ln'x\times x=1\) et donc que \(\ln'x=\frac 1x\).
Exercice :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x\ln x\).
1) Calculer \(f'(x)\).
2) En déduire une primitive sur \(]0;+\infty[\) de la fonction \(\ln\).
Solution :
Propriété
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Démonstration :
Ceci est une conséquence directe du fait que \(\ln'x=\frac 1x\gt 0\) pour tout réel \(x\gt 0\).
On en déduit immédiatement les propriétés suivantes, utiles pour résoudre des équations ou inéquations dans lesquelles intervient la fonction \(\ln\) :
Propriété
Pour tous réels strictement positifs \(a\), \(b\) et \(x\), on a :
A retenir : \(\ln x\) est positif si \(x\gt 1\) ; \(\ln x\) est négatif si \(0\lt x\lt 1\).
Exercice :
La population d'un village diminue de 1% par an.
Au bout de combien d'années aura-t-elle diminué de moitié?
Solution :
Soit \(N\) la population initiale du village.
Une diminution de 1% équivaut à une multiplication par \(1-\frac 1{100}=0,99\).
La population au bout de \(n\) années est donc : \(N\times 0,99^n\).
On résout l'inéquation \(N\times 0,99^n\leq \frac N2\) qui équivaut successivement à :
\(0,99^n\leq\frac 12\)
\(\ln(0,99^n)\leq\ln\left(\frac 12\right)\)
\(n\ln 0,99\leq\ln\left(\frac 12\right)\)
\(n\ln 0,99\leq-\ln 2\)
\(n\geq \frac{-\ln 2}{\ln 0,99}\approx 68,97\) (on a divisé chaque membre par le nombre négatif \(\ln 0,99\))
La population aura diminué de moitié au bout de 69 ans.
Exercice :
Combien de fois faut-il lancer un dé pour être sûr à plus de 99% d'obtenir au moins une fois un 6?
Solution :
26 fois
2) Limites
Propriété
\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}\ln x=-\infty\)
Démonstration :
Limite en \(+\infty\) : Soit \(A\) un nombre réel. \(\ln x\gt A\Leftrightarrow x\gt e^A\)
Ainsi, \(\ln x\) peut être rendu aussi grand que l'on veut pourvu que \(x\) soit assez grand. On en conclut que : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty\).
Limite en 0 : Soit \(x\) un réel strictement positif. Posons \(X=\frac 1x\).
Lorsque \(x\) tend vers 0 (avec \(x\gt 0\)), \(X\) tend vers \(+\infty\).
\(\ln x=\ln\left(\frac 1X\right)=-\ln X\).
Comme \(\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}\ln X=+\infty\), on a par composition : \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}\ln x=-\infty\).
Exercice :
Etudier la limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\ln(1+e^x)\).
Solution :
3) Courbe représentative
Remarque :
Comme \(\ln\) est la réciproque de la fonction exponentielle, les courbes représentatives des fonctions \(\ln\) et \(\exp\) sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation \(y=x\).
Cette symétrie se retrouve aussi sur les limites : \(\lim\limits_{x\rightarrow \color{green}{-\infty}}e^x=\color{red}0\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow \color{red}0}\ln x=\color{green}{-\infty}\).
IV- Compléments sur la fonction ln
1) Dérivée de \(\ln u\)
Propriété
Soit \(u\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\).
Alors la fonction \(\ln u:x\mapsto\ln[u(x)]\) est dérivable sur \(I\) et \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\).
Démonstration :
On a \(\ln u=g\circ u\) avec \(g=\ln\) ; \(g'(x)=\frac 1x\).
Alors \((\ln u)'=u'\times g'\circ u\) et donc \((\ln u)'(x)=u'(x)\times\frac{1}{u(x)}=\frac{u'(x)}{u(x)}\).
Remarque :
On en déduit les deux conséquences suivantes :
\(u\) et \(\ln u\) ont le même sens de variation sur \(I\) (car \(u\gt 0\)).
Si \(u>0\) sur \(I\), une primitive de \(\frac{u'}{u}\) est \(\ln u\).
Exercice :
1) Calculer de deux façons différentes la fonction dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\ln(x^2)\).
2) Calculer la fonction dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(]-5;7[\) par \(f(x)=\ln\left(\frac{7-x}{5+x}\right)\).
3) Déterminer une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}\).
4) Déterminer une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(]\frac 12;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{1}{2x-1}\).
Exercice :
Le critère de Kelly dit que pour maximiser le taux de croissance de son capital sur le long terme, un parieur doit maximiser l'espérance du logarithme du capital.
Un parieur effectue un pari, avec une probabilité 0,6 de remporter son pari.
Il mise une certaine somme d'argent. Il gagne sa mise si le pari est gagné, et perd sa mise si le pari est perdu.
1) Selon le critère de Kelly, quelle proportion de son capital doit-il miser ?
2) S'il effectue une série de 100 paris dans les mêmes conditions (on suppose qu'il gagne 60 fois et perd 40 fois) et avec la mise optimale, par combien aura-t-il multiplié son capital ?
2) Croissance comparée
Propriété
\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}x\ln x=0\).
Démonstration :
\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) : On pose \(X=\ln x\). Alors on a \(x=e^X\) et \(X\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
\(\frac{\ln x}{x}=\frac{X}{e^X}\).
On sait que \(\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}\frac{e^X}{X}=+\infty\) donc par passage à l'inverse : \(\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}\frac{X}{e^X}=0\)
On en conclut que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).
\(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}x\ln x=0\) : On pose \(X=\frac 1x\). Alors on a \(x=\frac 1X\) et \(X\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
\(x\ln x=\frac 1X\ln\left(\frac 1X\right)=-\frac{\ln X}{X}\).
D'après la première limite de la propriété, \(\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}-\frac{\ln X}{X}=0\).
On en conclut que \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}x\ln x=0\).
Remarque :
La deuxième limite est hors programme.
Plus généralement, on peut démontrer que pour tout entier \(n\gt 0\) : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\) et \(\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\x\gt 0}}x^n\ln x=0\).
Ainsi, toute puissance de \(x\) l'emporte sur la fonction \(\ln\) en \(0\) et en \(+\infty\).
Exercice :
1) Démontrer que pour tout nombre réel \(x\gt 0\) : \(\ln x\lt\sqrt x\).
2) En déduire une autre démonstration du fait que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).
Solution :
1) Posons \(f(x)=\ln x-\sqrt x\).
\(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et \(f'(x)=\frac 1x-\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{2-\sqrt x}{2x}\).
2) Pour tout réel \(x\gt 0\) : \(\ln x\lt\sqrt x\) donc \(\frac{\ln x}{x}\lt\frac{1}{\sqrt x}\).
De plus, pour \(x\gt 1\), on a \(\frac 12\).
Le théorème des gendarmes permet de conclure que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).
Exercice :
1) Etudier la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\).
2) En déduire la réponse aux deux questions suivantes :
a) Quel est le plus grand des deux nombres \(2018^{2019}\) et \(2019^{2018}\) ?
b) Déterminer tous les couples d'entiers naturels \((n;p)\) avec \(n\lt p\) tels que \(n^p=p^n\).
Solution :
Exercice :
Le mathématicien américain Claude Shannon (1916-2001), père de la théorie de l'information, a introduit les notions de quantité d'information et d'entropie, définies de la façon suivante :
La quantité d'information apportée par la réalisation d'un événement aléatoire de probabilité \(p\) est \(-\ln p\).
Ainsi, un événement très probable apporte peu d'information, tandis qu'un événement très improbable apporte une information importante.
L'entropie d'une variable aléatoire \(X\) est l'espérance de la quantité d'information apportée par cette variable aléatoire.
Ainsi, l'entropie d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) (avec \(0\lt p\lt 1\)) est \(h(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)\).
Etudier la fonction \(h\) puis en déduire la valeur de \(p\) qui donne une entropie maximale.
On calcule de deux façons différentes \(\ln'(1)\) :
Le taux d'accroissement de la fonction \(\ln\) entre \(1\) et \(1+h\) est \(\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=\frac{\ln(1+h)}{h}\).
On a donc : \(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln'(1)\).
\(\ln'(x)=\frac 1x\) donc \(\ln'(1)=\frac 11=1\).
On en conclut que \(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\).
Remarque :
Ce résultat peut s'interpréter de la façon suivante : Pour \(x\) proche de \(0\), on a : \(\frac{\ln(1+x)}{x}\approx 1\) donc \(\ln(1+x)\approx x\).
Ainsi, on a par exemple en posant \(x=0,01\) : \(\ln 1,01\approx 0,01\).
Exercice :
Calculer la limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\left(1+\frac 1n\right)^n\).
Solution :
Posons \(u_n=\left(1+\frac 1n\right)^n\) et \(v_n=\ln(u_n)\).
Alors \(v_n=n\ln\left(1+\frac 1n\right)=\frac{\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\frac 1n}=\frac{\ln(1+x)}{x}\) en posant \(x=\frac 1n\).
Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), \(x\) tend vers 0.
Comme \(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\), on a : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}v_n=1\).
\(u_n=e^{v_n}\) donc par composition, \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=e^1=e\). Remarque : On peut démontrer de la même façon que pour tout réel \(x\) :
\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x\).
V- Logarithme décimal
Définition
Soit \(x\) un nombre réel strictement positif.
Le logarithme décimal de \(x\), noté \(\log x\), est \(\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}\).
On a donc : \(\log 10=1\).
Comme \(\ln 10\gt 1\), la fonction \(\log\) a les mêmes variations que la fonction \(\ln\). Ainsi :
La fonction \(\log\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
La fonction logarithme décimal possède les mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien, notamment la propriété fondamentale du logarithme : \(\log (ab)=\log a+\log b\).
L'intérêt de la fonction \(\log\) par rapport à la fonction \(\ln\) réside dans les deux propriétés suivantes :
Pour tout réel \(x\gt 0\) : \(\log (10x)=1+\log x\) : une multiplication par 10 de la variable augmente le logarithme décimal de 1.
Pour tout entier relatif \(n\) : \(\log\left(10^n\right)=n\).
Exercice :
Déterminer (sans calculatrice) un encadrement par deux entiers consécutifs du logarithme décimal des nombres 378 et 0,000 042.
Solution :
On a \(100\lt 378\lt 1000\) ; \(\log 100=2\) et \(\log 1000=3\) donc \(2\lt\log 378\lt 3\).
On a \(10^{-5}\lt 0,000042\lt 10^{-4}\) ; \(\log 10^{-5}=-5\) et \(\log 10^{-4}=-4\) donc \(-5\lt\log 0,000042\lt -4\).
Remarque : Avec le logarithme népérien, ces encadrements auraient été plus difficiles à déterminer.
Exercice :
Différents prix sont offerts pour la découverte de très grands nombres premiers : 100 000 $ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 10 millions de chiffres décimaux (attribué en 2008), 150 000 $ pour un nombre premier de plus de 100 millions de chiffres, et 250 000 $ pour un nombre premier de plus d’un milliard de chiffres.
Le plus grand nombre premier connu à ce jour est \(2^{82\text{ }589\text{ }933}-1\) (découvert en décembre 2018).
Avec combien de chiffres s’écrit-il en écriture décimale ?
Solution :
Le nombre \(2^{82\text{ }589\text{ }933}\) est une puissance de 2, qui ne contient donc pas de 5 dans sa décomposition en facteurs premiers. Son écriture décimale ne se termine donc pas par un 0. Par conséquent, les nombres \(2^{82\text{ }589\text{ }933}-1\) et \(2^{82\text{ }589\text{ }933}\) ont le même nombre de chiffres.
Le nombre de chiffres d'un entier \(n\) est \(\log(n)\) arrondi à l'entier supérieur.
\(\log(2^{82\text{ }589\text{ }933})=82\text{ }589\text{ }933\log 2\approx 24\text{ }862\text{ }047,2\)
On en déduit que le nombre \(2^{82\text{ }589\text{ }933}-1\) s'écrit en écriture décimale avec 24 862 048 chiffres.
Utilisation dans les sciences :
En chimie, le pH est égal à l'opposé du logarithme décimal de la concentration en ions \(H_3O^+\) : \(\text{pH}=-\log [H_3O^+]\)
L’échelle de Richter, utilisée en sismologie pour mesurer l’intensité des tremblements de terre, est une échelle logarithmique : un accroissement de la magnitude de 1 correspond à une multiplication par 10 de l’amplitude du
mouvement. Ainsi, un séisme de magnitude 7 est 10 fois plus puissant qu’un séisme de magnitude 6, et 100 fois plus puissant qu’un séisme de magnitude 5. Ceci permet de comparer une très large gamme de séismes sur une échelle réduite, de 2 pour les séismes à peine perceptibles à 9 pour les plus importants.
On mesure la puissance (ou l’intensité) d’un son par rapport à une puissance de référence en Bels, ou en décibels (1 décibel = 0,1 Bel). La puissance en Bels correspondant à une puissance P est \(\log\left(\frac{P}{P_0}\right)\), où \(P_0\) correspond à l’intensité audible la plus faible. Ainsi, un son de 70 dB est 10 fois plus puissant qu’un son de 60 dB, et 100 fois plus puissant qu’un son de 50 dB. Un son de 53 dB est environ 2 fois plus puissant qu’un son de 50 dB.
Quelques exemples : 0 dB : seuil d’audibilité ; 50 dB : lave-vaisselle ; 70 dB : aspirateur ; 100 dB : marteau-piqueur ; 140 dB : avion au décollage
L’oreille humaine perçoit la fréquence (ou hauteur) des sons de manière logarithmique : un doublement de la fréquence est perçu comme l’augmentation d’une octave. L’oreille perçoit donc le même écart entre 220Hz (La grave) et 440Hz (La medium) qu’entre 440Hz et 880Hz (La aigu). L’écart d’un demi-ton (plus petite différence de hauteur entre deux notes en musique) correspond à une multiplication par \(\sqrt[12] 2\approx 1,059\) de la fréquence. Ainsi, l’oreille humaine (ou plutôt le cerveau) transforme la suite géométrique des fréquences en une suite arithmétique au moyen de la fonction logarithme.
