On aura besoin de la propriété suivante, qui sera démontrée dans un chapitre ultérieur :
Propriété
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(a\) et \(b\) deux nombres réels, avec \(a\neq 0\).
Alors la fonction \(g\) définie par \(g(x)=f(ax+b)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a :
\({g'(x)=a\times f'(ax+b)}\)
Remarque :
Le coefficient multiplicateur \(a\) devant \(f'(ax+b)\) n'est autre que la dérivée de la fonction \(x\mapsto ax+b\).
Exercice :
Soit \(g\) et \(h\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\cos(3x-5)\) et \(h(x)=(2x-6)^4\). Calculer \(g'(x)\) et \(h'(x)\).
Solution :
\(g(x)=f(ax+b)\) en posant \(f(x)=\cos x\) , \(a=3\) et \(b=-5\). On a \(f'(x)=-\sin x\).
Ainsi : \(g'(x)=a\times f'(ax+b)=-3\sin(3x-5)\).
\(h(x)=f(ax+b)\) en posant \(f(x)=x^4\) , \(a=2\) et \(b=-6\). On a \(f'(x)=4x^3\).
Ainsi : \(h'(x)=a\times f'(ax+b)=2\times 4(2x-6)^3=8(2x-6)^3\).
Exercice :
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(-x)\). Calculer \(g'(x)\).
Solution :
\(g(x)=f(ax+b)\) avec \(a=-1\) et \(b=0\).
Ainsi : \(g'(x)=a\times f'(ax+b)=-1f'(-x)=-f'(-x)\).
Définition
Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tout réel \(x\) :
\({f'(x)=f(x) \text{ et }f(0)=1}\)
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle et notée : \(\exp:x\mapsto \exp(x)\).
Ainsi, la fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
L'existence de la fonction exponentielle sera admise.
Pour montrer son unicité, on aura besoin de la propriété suivante :
Propriété
Pour tout nombre réel \(x\), \(\exp(x)\neq 0\).
Autrement dit, la fonction exponentielle ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\).
Démonstration :
Soit \(f\) une fonction telle que \(f'=f\) et \(f(0)=1\).
On veut démontrer que \(f(x)\neq 0\) pour tout réel \(x\).
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x)=f(x)\times f(-x)\).
\(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (produit de deux fonctions dérivables) et on a pour tout réel \(x\) :
\(\varphi'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)\) (d'après la propriété préliminaire)
\(=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)\) (car \(f'=f\))
\(=0\)
On en déduit que \(\varphi\) est constante sur \(\mathbb{R}\) (car \(\mathbb{R}\) est un intervalle).
Pour obtenir la valeur de la constante, on calcule \(\varphi(0)\) :
\(\varphi(0)=f(0)\times f(0)=1\) donc \(\varphi(x)=1\) pour tout réel \(x\).
Ainsi, \(f(x)\times f(-x)=1\) donc \(f(x)\neq 0\) pour tout \(x\).
On en déduit de plus que \({f(-x)=\frac{1}{f(x)}}\) pour tout \(x\).
Remarque :
On a démontré au passage que \(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\). L'exponentielle de l'opposé est l'inverse de l'exponentielle.
Démonstration de l'unicité de la fonction exponentielle :
Supposons qu'il existe deux fonctions \(f\) et \(g\) telles que :
\(\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
f'&=f\text{ et }f(0)=1\\
g'&=g\text{ et }g(0)=1\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}\)
On va démontrer que \(f=g\).
Soit \(\varphi\) la fonction définie par \(\varphi(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\).
\(\varphi\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\) d'après la propriété précédente) et : \({\varphi '(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}}\)\({=\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{\left[g(x)\right]^2}}\)\(=0\).
On en déduit que \(\varphi\) est constante sur \(\mathbb{R}\).
\(\varphi(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{1}{1}=1\) pour tout réel \(x\). Ainsi, \(\frac{f(x)}{g(x)}=1\) donc \(f(x)=g(x)\) pour tout réel \(x\). Les fonctions \(f\) et \(g\) sont donc égales.
La propriété suivante résume les résultats de cette première partie :
Propriété
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\(\exp(0)=1\)
\(\exp'(x)=\exp(x)\)
\(\exp(x)\neq 0\) pour tout réel \(x\).
\(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\)
II- Propriétés de la fonction exponentielle
Propriété
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)\).
L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles.
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
Démonstration :
Fixons \(a\).
Soit \(\varphi\) la fonction définie par \(\varphi(x)=\frac{\exp(x+a)}{\exp(a)}=\frac{1}{\exp(a)}\times\exp(x+a)\).
\(\varphi'(x)=\frac{1}{\exp(a)}\times \exp'(x+a)=\frac{1}{\exp(a)}\times \exp(x+a)=\varphi(x)\).
De plus, \(\varphi(0)=\frac{\exp(a)}{\exp(a)}=1\).
Ainsi, \(\varphi'=\varphi\) et \(\varphi(0)=1\).
On en déduit que \(\varphi\) est la fonction exponentielle : \(\varphi(x)=\exp(x)\) pour tout réel \(x\).
Ainsi : \(\frac{\exp(x+a)}{\exp(a)}=\exp(x)\) et donc \(\exp(x+a)=\exp(x)\times\exp(a)\) pour tout réel \(x\).
En particulier, pour \(x=b\), on obtient \(\exp(b+a)=\exp(b)\times\exp(a)\).
De cette propriété fondamentale, on déduit les propriétés suivantes :
Propriété
Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(x\) et tout entier naturel \(n\), on a :
\(\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}\)
L'exponentielle d'une différence est le quotient des exponentielles.
\(\exp(x)>0\)
La fonction exponentielle est strictement positive.
\(\sqrt{\exp(x)}=\exp\left(\frac x 2\right)\)
\(\exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n\)
Démonstration :
On a pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\(\exp(a-b)=\exp[a+(-b)]=\exp(a)\times\exp(-b)=\exp(a)\times\frac{1}{\exp(b)}=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}\).
On a pour tout nombre réel \(x\) :
\(\exp(x)=\exp\left(\frac x 2 +\frac x 2\right)=\) \(\exp\left(\frac x 2\right)\times\exp\left(\frac x 2\right)\)
\(=\left[\exp\left(\frac x 2\right)\right]^2\geq 0\) (car un carré est toujours positif).
De plus, \(\exp(x)\neq 0\) donc \(\exp(x)\gt 0\).
D'après le calcul précédent : \(\exp(x)=\left[\exp\left(\frac x 2\right)\right]^2\) donc \(\sqrt{\exp(x)}=\exp\left(\frac x 2\right)\) (car une exponentielle est toujours positive).
Cas \(n=2\) : \(\exp(2x)=\exp(x+x)=\exp(x)\times\exp(x)=\left[\exp(x)\right]^2\).
Le cas \(n\) positif quelconque se démontre par récurrence.
Le cas \(n\) négatif se démontre en utilisant le cas \(n\) positif et la propriété \(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\).
La notation exponentielle :
Pour tout entier \(n\in \mathbb{Z}\), on a : \(\exp(n)=\exp(1\times n)=\left[\exp(1)\right]^n\).
On notera \(e\) le nombre réel \(\exp(1)\) : \(e=\exp(1)\approx 2,718\) (\(e\) est un nombre irrationnel).
On a alors pour tout entier relatif \(n\) : \(\exp(n)=e^n\).
On étend cette notation à tous les nombres réels : par convention, on note pour tout nombre réel \(x\) : \(\exp(x)=e^x\).
Avec cette nouvelle notation, les règles de calcul avec la fonction exponentielle sont les mêmes que les règles déjà connues sur les exposants :
\(e^0=1\)
\(e^1=e\)
\(e^{-x}=\frac 1{e^x}\)
\(e^{x+y}=e^x\times e^y\)
\(e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\)
\(\left(e^{x}\right)^n=e^{nx}\)
\(\sqrt{e^x}=e^{\frac x 2}\)
\(\left(e^x\right)'=e^x\)
Exercice :
Simplifier les expressions \(A=\left(\frac{e^5\times e^{-2}}{e}\right)^3\) et \(B=\frac{\left(e^x\right)^3\times e^{-2x}}{e^{2x}\times e^{-x+1}}\). Développer l'expression \(C=(e^x+e^{-x})^2\).
Exercice :
Démontrer que pour tout nombre réel \(x\) : \(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\).
Solution :
1ère méthode : On part du membre de gauche et on met \(e^x\) en facteur au numérateur et au dénominateur. 2ème méthode : On démontre que les produits en croix sont égaux.
III- Etude de la fonction exponentielle
1) Sens de variation
Propriété
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Démonstration :
\(\exp'(x)=\exp(x)\gt 0\). La dérivée de la fonction exponentielle est toujours strictement positive, d'où le résultat.
On en déduit la propriété suivante :
Propriété
\(a\lt b\Leftrightarrow e^a\lt e^b\)
\(a=b\Leftrightarrow e^a=e^b\)
\(x\lt 0\Leftrightarrow e^x\lt 1\)
\(x=0\Leftrightarrow e^x=1\)
\(x\gt 0\Leftrightarrow e^x\gt 1\)
Remarque :
Ces règles sont utiles pour résoudre des équations ou inéquations comportant des exponentielles.
Exercice :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(e^{3x+1}-e^{-x}\lt 0\).
Les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) indiquées dans ce tableau de variation seront démontrées (et définies) dans le chapitre sur les limites de fonctions.
On démontrera plus tard la propriété suivante (que l'on peut conjecturer sur le graphique) :
Pour tout réel \(k\gt 0\), l'équation \(e^x=k\) admet une solution unique dans \(\mathbb{R}\).
Cette solution est appelée le logarithme népérien de \(k\), et notée \(\ln(k)\) (voir le chapitre « Logarithme népérien »). \(e^x=k\Leftrightarrow x=\ln(k)\)
IV- Fonction \(x\mapsto e^{u(x)}\)
Propriété
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Alors la fonction \(e^u\) est dérivable sur \(I\) et \((e^u)'=u'\times e^u\).
En particulier, \(x\mapsto e^{ax+b}\) a pour dérivée \(x\mapsto a.e^{ax+b}\).
Démonstration :
La fonction \(e^u\) est la composée de \(u\) suivie de \(\exp\) donc \(\left(e^u\right)'=u'\times \exp'(u)=u'\times e^u\)
(d'après la propriété sur la dérivée d'une composée qui sera vue dans le chapitre « Compléments sur la dérivation »).
Remarque :
Les fonctions \(e^u\) et \(u\) ont le même sens de variation.
En effet, leurs dérivées \(u'e^u\) et \(u'\) ont le même signe (car \(e^u\) est toujours positif).
Exercice :
1) Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=e^{\frac{1}{x}}\).
2) Déterminer la dérivée et le sens de variation de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{-3x+2}\).
3) Déterminer une primitive (une fonction dont la dérivée est égale à \(h\)) de la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=xe^{x^2}\).
