\(p_1=\frac 19\), \(p_2=\frac 39\), \(p_3=\frac 59\).

\(n=8\) et \(p=\frac 23\).

a) \(P(X=8)\approx 0,233\)
b) \(P(X\leq 6)\approx 0,350\)
c) \(P(x\geq 6)\approx 0,850\)

a) \(0,471\)
b) \(E(X)=np=20\times 0,8=16\)

\(0,49\)

\(0,94\)

1) \(P(V\cap R)=0,0042\)
2) \(P(R)=0,0192\)
3) \(P_R(B)=0,781\)

0,910 (voir solution détaillée ici)

a) 0,383
b) 0,067
c) 0,0062

a) 0,023
b) 0,059

\(P(0\leq X\leq 0,7)\approx 0,257\) (la calculatrice donne 0,258)
\(P(X\lt 0,7)\approx 0,757\)
\(P(X\gt 0,7)\approx 0,243\)
\(P(X\lt -0,7)\approx 0,243\)
\(P(-0,7\lt X\lt 0)\approx 0,257\)

a) La calculatrice donne directement \(c\approx -0,47\).
b) \(P(X\gt d)=0,42\iff P(X\lt d)=1-0,42=0,58\). La calculatrice donne \(d\approx 0,20\).
c) \(P(X\lt 1)\approx 0,841\)
\(s\) est donc le nombre tel que \(P(X\lt s)\approx 0,841+0,1\approx 0,941\). La calculatrice donne \(s\approx 1,56\).

\(u_{0,05}\approx 1,96\) et \(u_{0,01}\approx 2,58\).

1) La calculatrice donne directement (via NormalFRép) : \(P(53\lt X\lt 54)\approx 0,117\) ; \(P(X\lt 56)\approx 0,909\) et \(P(X\gt 50)\approx 0,748\).
2) La calculatrice donne directement (via invNormale) : \(c\approx 54,02\).

La variable aléatoire \(Z=\frac{T-\mu}{\sigma}=\frac{T-10}{5}\) suit la loi normale centrée réduite \(\cal N(0;1)\).
\(8\leq T \leq 13\iff -2\leq T-10\leq 3\iff \frac{-2}{5}\leq\frac{T-10}{5}\leq\frac{3}{5}\iff -0,4\leq Z\leq 0,6\)
\(P(8\leq T \leq 13)=P(-0,4\leq Z\leq 0,6)\)\(=P(-0,4\leq Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq 0,6)\)\(=P(0\leq Z\leq 0,4)+P(0\leq Z\leq 0,6)\)\(\approx 0,155+0,226\)\(\approx 0,381\)

La variable \(Z=\frac{T-\mu}{\sigma}=\frac{T-40}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite \(\cal N(0;1)\).
\(T\lt 10\iff T-40\lt -30\iff \frac{T-40}{\sigma}\lt\frac{-30}{\sigma}\iff Z\lt\frac{-30}{\sigma}\)
Ainsi on a : \(P(Z\lt\frac{-30}{\sigma})=0,067\). La calculatrice donne (via invNormale) : \(\frac{-30}{\sigma}\approx -1,4985\).
On en déduit que \(\sigma\approx\frac{30}{1,4985}\approx 20,02\) minutes, soit 20 minutes et 1 seconde.

1) A la calculatrice, on trouve : \(\mu\approx 179,2\) cm et \(\sigma\approx 6,9\) cm.
2) On modélise la taille \(X\) par une loi normale de paramètres \(\mu=179\) et \(\sigma=7\).
La calculatrice donne : \(P(X\gt 200)\approx 0,00135\), soit une proportion de 0,135%.
Le nombre d'élèves correspondant est \(0,00135\times 380000\approx 513\).
Il y a donc environ 500 garçons de Terminale qui mesurent plus de 2 mètres.
3) La taille du plus grand élève correspond (approximativement) au nombre \(c\) tel que \(P(X\gt c)=\frac{1}{380000}\), c'est-à-dire tel que \(P(X\lt c)=\frac{379999}{380000}\). La calculatrice donne \(c\approx 211\). On peut donc estimer la taille du plus grand élève de France aux environs de 2,10 mètres.
Remarque : la loi normale est assez réaliste pour ce problème. Cependant, la théorie de l'estimation statistique dit que la meilleure estimation de l'écart-type n'est pas le \(\sigma\) obtenu à la question 1), mais qu'il faut multiplier cette valeur par \(\sqrt{\frac{n}{n-1}}\), où \(n\) est la taille de l'échantillon, pour obtenir l'estimation optimale de \(\sigma\). Dans notre cas, \(n=18\), donc on aurait dû idéalement multiplier \(\sigma\) par \(\sqrt{\frac{18}{17}}\approx 1,059\). Pour notre problème, ceci à pour effet d'augmenter notre estimation à 800 élèves mesurant plus de 2 mètres et de porter la taille du plus grand élève à 2,12 m.